Contrôle et Application

Notre premier objectif sera de prouver l’existence d’une solution unique d’un problème de transition de phase non linéaire modélisant un phénomène physique ou biologique. Ce modèle est un flot de type gradient, dans le sens où l’évolution générée par l’équation possède une fonctionnelle de Liapounov, c-à-d une fonctionnelle énergie qui décroit au cours du temps ; ce qui nous poussera naturellement à utiliser des méthodes d’énergie. 
           Un autre problème a été considéré, dans la littérature, le problème du comportement de la solution de l’équation des ondes avec un terme source et un terme dissipatif a été largement étudié par plusieurs auteurs. Premièrement, H. A. Levine a considéré le cas d’un terme dissipatif linéaire. Il a montré que la solution explose en un temps fini quand l’énergie de la donnée initiale est négative. Ensuite, dans le cas d’une dissipation non linéaire, V. Georgiev et G. Todorova ont montré que si le terme source domine le terme dissipatif, la solution explose en un temps fini pour des données initiales suffisamment grandes. E. Vitillaro a obtenu des résultats similaires dans la cas où l’énergie de la donnée initiale est positive. Notre deuxième objectif, sera d’étudier, sous certaines conditions sur l’énergie de la donnée, l’existence et l’explosion de la solution d’un système couplé de deux équations des ondes avec des termes sources et dissipatifs.

Mots clés

Stabilisation; Blow up; Termes sources; Termes dissipatifs; Indefe…nite Quadratic programming; trust-region subprob-lems; Optimality condition; convex and nonconvex programming.